Magik-stroy.ru

Меджик Строй
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Площадь трапеции через откосы

Как найти площадь трапеции

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. В этой статье мы расскажем, как посчитать площадь трапеции. Эту тему подробно изучают в школе в 8-м классе.

Но в классической программе учителя дают далеко не все формулы, с помощью которых можно вычислить нужное значение. И ограничиваются, как правило, одной или двумя.

Мы же дадим максимально развернутый ответ на этот вопрос. Ведь трапеция – это весьма примечательная и сложная фигура в геометрии. А соответственно, и формулы для вычисления ее площади отличаются определенной сложностью и громоздкостью.

Тут нет банальных «перемножить длины сторон», как у площади прямоугольника. Все гораздо мудреней.

Что такое площадь трапеции

Трапеция — четырехугольник, две стороны которого, называемые основаниями, параллельны друг другу, а две другие стороны — нет.

Вычисление площади трапеции входит в раздел геометрии, который называется планиметрия и занимается фигурами на плоскости.

Площадь трапеции, как и любой другой геометрической фигуры — это часть плоскости, ограниченная периметром и измеряемая в квадратных единицах.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

В формулах основания обозначаются буквами a и b, боковые стороны — с и d.

Способы нахождения площади

Существует более двадцати способов вычисления площади трапеции. Выбор способа расчета зависит от известных данных, которые можно подставить в формулу, и от типа самой трапеции: она может быть равнобедренной (равнобокой) или прямоугольной, тогда задача упростится.

Например, если трапеция равнобедренная, вычислить длину ее сторон можно, разбив ее на прямоугольник и два прямоугольных треугольника.

Если трапеция прямоугольная, легко запомнить соотношение ее сторон, пользуясь формулами для усеченного конуса, который образуется при ее вращении вокруг ее боковой стороны, находящейся под прямым углом к основаниям:

Стороны такой трапеции, наглядно видные на схеме, связаны следующим соотношением:

Но большинство формул подходит и для разносторонних трапеций. Если задача практическая и трапеция имеет материальную форму, основания, боковые стороны, высоту и диагонали легко измерить с помощью линейки.

Средняя линия трапеции

Средняя линия – отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

Формулы определения длины средней линии трапеции:

m =a + b
2

2. Формула определения длины средней линии через площадь и высоту:

m =S
h

Через длины оснований и высоту

Чему равна площадь трапеции если известны основания a и b, а также высота h?

Формула

Пример

Если у трапеции основание a = 3 см, основание b = 6 см, а высота h = 4 см, то её площадь:

S = ½ ⋅ (3 + 6) ⋅ 4 = 36 / 2 = 18 см²

Методы вычисления площади прямоугольной трапеции

Понятно, что подойдет любой из перечисленных для произвольной фигуры. Но иногда полезно знать об одной особенности такой трапеции. Она заключается в том, что разность квадратов длин диагоналей равна разности, составленной из квадратов оснований.

Часто формулы для трапеции забываются, в то время как выражения для площадей прямоугольника и треугольника помнятся. Тогда можно применить простой способ. Разделить трапецию на две фигуры, если она прямоугольная, или три. Одна точно будет прямоугольником, а вторая, или две оставшиеся, треугольниками. После вычисления площадей этих фигур останется их только сложить.

Читать еще:  Профиль стартовый под откос

Это достаточно простой способ того, как найти площадь прямоугольной трапеции.

Площадь трапеции

Площадь трапеции, формулы расчета, определение,
способы найти площадь, нахождение площади
через величины и примеры площади трапеции.

Все формулы расчета площади трапеции
через основания и угол, периметр, радиус,
синус и две стороны, диагональ,
высоту, среднюю линию.

Площадь трапеции, можно измерить, в единицах
измерения в квадрате: мм 2 , см 2 , м 2 и км 2 и так далее.

Площадь трапеции через окружность вписанную можно
найти, зная радиус окружности вписанной в трапецию
и некоторые другие величины.

  1. Формулы площади трапеции
  2. Площадь любых трапеций
  3. Площадь равнобедренной трапеции
  4. Определения трапеции
  5. Элементы трапеции

Формулы площади трапеции

Площадь любых трапеций

Ⅰ. Площадь трапеции через основания и высоту:


[ S = frac <2>cdot h ]
a,b — основания трапеции;
h — высота трапеции;

Ⅱ. Площадь трапеции через высоту и среднюю линию:


[ S = mh ]
m — средняя линия трапеции;
h — высота трапеции;

Ⅲ. Площадь трапеции через диагонали и угол между ними:

[ S =frac<1><2>d_1d_2 cdot sin alpha ]
( d_1, d_2 ) ​​- диагонали трапеции;
sin α — синус угла альфа в трапеции;

Ⅳ. Площадь трапеции через периметр, высоту и боковые стороны:

[ S = frac<2>h ]
P — периметр трапеции;
c,d — боковые стороны трапеции;
h — высота трапеции;

Ⅴ. Площадь трапеции через основания и боковые стороны:
[ S = frac <2>cdot sqrt<2a-2b>)^2> ]
a,b — основания трапеции;
с,d — боковые стороны трапеции;

Ⅵ. Площадь трапеции через основания и углы:

a,b — основания трапеции;
α — угол при основании a в трапеции;
β — угол при основании b в трапеции;
sin α — синус угла альфа в трапеции;
sin β — синус угла бетта в трапеции;

Площадь равнобедренной трапеции

Ⅰ. Площадь трапеции через синус угла, среднюю линию и боковую сторону:

[ S = ld cdot sin α ]

l — средняя линия равнобедренной трапеции;
d — боковая сторона равнобедренной трапеции;
α — угол альфа при боковой стороне d равнобедренной трапеции;
sin α — синус угла альфа в равнобедренной трапеции;

Ⅱ. Площадь трапеции через диагонали и синус угла:

[ S = frac <2>cdot sin α ]

d — диагональ равнобедренной трапеции;
α — угол между двумя диагоналями в равнобедренной трапеции;
sin α — синус угла альфа в равнобедренной трапеции;

Ⅲ. Площадь трапеции через радиус вписанной окружности и основания:

r — радиус вписанной окружности равнобедренной трапеции;
a, b — основания равнобедренной трапеции;

Ⅳ. Площадь трапеции через основания:

a, b — основания равнобедренной трапеции;

Ⅴ. Площадь трапеции через основания и среднюю линию:

l — средняя линия равнобедренной трапеции;
a, b — основания равнобедренной трапеции;

Ⅵ. Площадь трапеции через синус угла и стороны:

[ S = c cdot sin α cdot (a-c cdot cos α) ]

a — нижнее основание равнобедренной трапеции;
с — боковая сторона равнобедренной трапеции;
sin α — синус угла альфа в равнобедренной трапеции;
cos α — косинус угла альфа в равнобедренной трапеции;

Ⅶ. Площадь трапеции через угол и радиус вписанной окружности:

r — радиус вписанной окружности равнобедренной трапеции;
sin α — синус угла альфа в равнобедренной трапеции;

Определения трапеции

Трапеция — это четырехугольник, у которого две
стороны параллельны а две другие нет.

Зная углы трапеции, можно определить, к какому виду
она относится. Всего различают три вида трапеций:

  • Обычная / стандартная трапеция: четыре угла и четыре стороны не равны.
  • Равнобедренная / равнобочная / равнобоковая трапеция:
    два угла при основании равны, две боковые стороны равны.
  • Прямоугольная / прямаятрапеция: один из углов прямой.
Читать еще:  Крутые откосы по берегам рек краям оврагов

Площадь равнобедренной, прямоугольной трапеции,
можно найти через формулы площади обычной трапеции.

Формул, с помощью которых, можно найти площадь трапеции
через описанную окружность около трапеции, не существует.

Элементы трапеции

Любая трапеция является четырехугольником,
поэтому у трапеции 4 угла и 4 стороны.

Основание трапеции — это сторона, противолежащая
сторона которой параллельна.

Боковая сторона трапеции — это сторона, противолежащая
сторона которой не параллельна.

Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий
середины боковых сторон трапеции.

Диагональ трапеции — это отрезок, соединяющий две
вершины, которые лежат в разных концах трапеции.

Высота трапеции — это отрезок, соединяющий меньшее основание с большим,
образуя при этом два угла по 90 градусов на большей стороне.

Основания у трапеции не могут быть никогда равны.
Боковые стороны могут быть равны только,
если трапеция — равнобедренная.

Площадь трапеции — это площадь геометрической фигуры,
у которой четыре стороны и четыре угла, причем только
две стороны параллельны а остальные нет.

Все формулы площади трапеции

Вам будет интересно: Слово «прощелыга» значение и происхождение

В геометрии существует множество формул нахождения площадей фигур, что является как плюсом, так и минусом. Как же найти площадь трапеции?

  • Через диагонали и вертикальный угол. Для этого умножьте половину произведения диагоналей на угол между ними.
  • Площадь трапеции через основание и высоту. Половину суммы оснований умножьте на высоту трапеции, проведенную к одному из оснований.
  • При помощи всех сторон. Сумму оснований поделите пополам и умножьте на корень. Под корнем: сторона в квадрате минус дробь, в числителе которой — разница оснований в квадрате плюс разница боковых сторон, каждая из которых в квадрате, а в знаменателе — разница оснований, умноженная на два.
  • Через высоту и медиану. Сумму оснований трапеции поделите пополам и умножьте на высоту, проведенную к основанию фигуры.
  • Для равнобедренной трапеции также существует своя формула нахождения площади. Чтобы найти площадь данной фигуры, умножьте квадрат радиуса на четыре и поделите на синус угла альфа.

    Прямоугольная фигура и ее характеристики

    Несмотря на невысокую симметрию трапеции с прямыми углами, работать с ней удобно при решении задач, поскольку можно напрямую использовать теорему Пифагора.

    Пусть имеется фигура, в которой a и b — это основания, c — сторона, которая им обоим перпендикулярна и образует с ними прямые внутренние углы, d — боковая сторона, которая наклонена под некоторым углом к основаниям. Из такого построения ясно, что боковая сторона c также является высотой h фигуры.

    Углы и диагонали

    Формулы для расчета внутренних углов и длин диагоналей в прямоугольной фигуре имеют простой вид. Чтобы найти тупой и острый углы, достаточно рассмотреть прямоугольный треугольник, который образован следующими отрезками:

    • перпендикуляром к основанию c;
    • боковой стороной d;
    • стороной a-b.
    Читать еще:  Котлован с откосами вид сверху

    Нетрудно доказать, что синус острого угла α при основании может быть рассчитан по следующей формуле:

    Поскольку вместе с тупым углом β он составляет 180 °, тогда справедливы равенства:

    sin (α) = sin (β) = c/d и β = 180 ° — α.

    Для вычисления диагоналей прямоугольной трапеции можно воспользоваться общими формулами для D1 и D2.

    Однако, для этого типа фигуры их можно упростить, воспользовавшись теоремой Пифагора. Любая из проведенных диагоналей образует внутри рассматриваемой трапеции прямоугольный треугольник, поэтому для D1 и D2 можно записать следующие равенства:

    • D1 = (a 2 + c 2 )^0,5;
    • D2 = (b 2 + c 2 )^0,5.

    Для вычисления диагоналей D1 и D2 необязательно знать длину боковой стороны d.

    Вычисление площади

    Существует несколько выражений, используя которые можно определить площадь любой трапеции. Для прямоугольной фигуры все эти формулы имеют упрощенный вид. В первую очередь следует отметить общее выражение для площади S, которая равна произведению медианы M на высоту h:

    Для прямоугольной трапеции эта формула преобразуется в следующее равенство:

    Где h=c и M = (a+b)/2.

    Удобно определять площадь рассматриваемой фигуры также через ее диагонали D1, D2 и угол их пересечения γ. Эта формула имеет вид:

    То есть половина произведения диагоналей на синус угла их пересечения дадут площадь всей фигуры. Необходимо отметить, что неважно, какой брать угол (острый или тупой) они связаны друг с другом (в сумме дают 180 °) и их синусы равны. Если диагонали пересекаются под прямым углом, то формула для S сводится к выражению:

    Существует еще одна формула площади трапеции прямоугольной через ее основания a, b и острый угол α. Применяя следующие рассуждения и выкладки можно ее получить:

  • Следует рассмотреть прямоугольный треугольник, ограниченный отрезками c, b-a и d, где основание b больше, чем a.
  • Высота c определяется следующей тригонометрической формулой: c = (b-a)*tg (α).
  • Площадь фигуры рассчитывается из выражения общего типа: S = (b+a)*(b-a)*tg (α)/2. Эту формулу можно преобразовать таким образом: S = (b 2 — a 2 )*tg (α)/2.

    Аналогичную формулу можно использовать, если известен не острый угол α, а тупой β. В этом случае выражение для S примет вид:

    S = (a 2 -b 2 )*tg (β)/2.

    Функция tg (β) здесь является отрицательной величиной, поэтому вычитаемое и уменьшаемое в множителе a-b поменялись местами. Все выражения для расчета площади применимы при определении объема призм в трехмерном пространстве, у которых основания представляют собой трапеции.

    Коротко о главном

    Площадь фронтальной части кровли рассчитывают, когда планируют закупку фасадной отделки. Способ вычисления зависит от формы конструкции; распространение получил треугольный, трапециевидный и пятиугольный вариант фронтона.

    Получить нужное значение можно при помощи простейших формул или онлайн калькулятора. Для этого нужно знать длину основания фронтона (или двух оснований) и высоту кровли до конька. Из всей площади вычитают детали, не подлежащие отделке, например, окно или дверь.

    Напишите в комментариях, как думаете – относительно каких точек измерять ширину стены при расчетах на срубе?

    голоса
    Рейтинг статьи
  • Ссылка на основную публикацию
    ВсеИнструменты
    Adblock
    detector