Расчет устойчивости откоса по методу бишопа

Методы расчета откосов

Во всех расчетах напряженное состояние полагается плоско деформированным, то есть рассматривается узкая полоса склона шириной 1 м, условия ее работы сохраняются для всего склона.
В этих методах поверхность скольжения считается известной заранее. При расчетах устойчивости склона или оползневого давления призма скольжения делится вертикальными линиями на ряд отсеков. Обычно отсеки принимаются такими, чтобы без потери точности можно было в их пределах принимать поверхность за плоскость, а очертание склона, действие внешних сил и т.п. практически однородными.
Рассматриваются условия равновесия i-го отсека (Рис. 1, Рис. 2, Рис. 3). Все внешние активные силы (вес грунта в отсеке, внешняя нагрузка и т.д.), действующие на i-й отсек, приводятся к равнодействующейP_i. Последнюю раскладываем в точке ее приложения на составляющие: нормальную P_Ni и касательную P_Qi к плоскости возможного сдвига отсека.

В программе реализованы следующие методы расчета:

• Метод круглоцилиндрических поверхностей скольжения
• Метод горизонтальных сил
• Аналитический метод Г.М. Шахунянца

Расчёт общей и местной устойчивости

Наиболее опасные предельные состояния связаны с потерей устойчивости элементов и системы в целом. В расчётном комплексе SCAD Office имеется режим проверки устойчивости, который позволяет вычислить:

• Коэффициент запаса устойчивости (показывает во сколько раз нужно увеличить заданную нагрузку, чтобы система потеряла устойчивость);
• Форму потери устойчивости;
• Расчётные длины стержневых элементов.

Требования норм

Требования к проверке общей устойчивости стальных конструкций содержится в пункте 4.3.2 СП 16.13330.2011

Отношение критической нагрузки к расчетной для стержневых конструкций, рассчитываемых как идеализированные пространственные системы с использованием сертифицированных вычислительных комплексов (согласно 4.2.5, 4.2.6), должно быть не меньше коэффициента надежности по устойчивости системы ys = 1,3.

А к проверке железобетонных конструкций в приложении В СП 63.13330.2012 пункт В.8

При расчете на устойчивость конструктивной системы следует производить проверку устойчивости формы конструктивной системы, а также устойчивости положения конструктивной системы на опрокидывание и на сдвиг.

и в пункте 6.2.8 СП 52-103-2007:

…При расчете устойчивости формы конструктивной системы рекомендуется принимать пониженные жесткости элементов конструктивной системы (учитывая нелинейную работу материала), поскольку устойчивость конструктивной системы связана с деформативностью системы и отдельных элементов. При этом значение понижающих коэффициентов в первом приближении рекомендуется принимать, как указано в пп. 6.2.6, 6.2.7 с учетом того, что устойчивость конструктивной системы зависит от сопротивления в основном внецентренно сжатых вертикальных элементов при длительном действии нагрузки и в стадии, приближающейся к предельной. Запас по устойчивости должен быть не менее чем двукратным.

Задание исходных данных

Исходные данные для расчёта общей устойчивости системы находятся в специальных исходных данных:

В появившемся окне задаётся вид расчёта, верхняя граница поиска (граница выше которой поиск коэффициента запаса устойчивости не будет производиться, и от каких нагрузок или комбинаций будет производиться расчёт:

Более подробно об теоретическом обосновании можно прочитать в справке SCAD Office, особенно стоит обратить внимание на различия в результатах расчёта устойчивости стержней между строительными нормами и SCAD.

Анализ результатов

Коэффициент запаса устойчивости системы будет указан в протоколе, также там будет указан элемент с наименьшим коэффициентом запаса при неподвижных узлах системы.

Во вкладке перемещения — можно посмотреть формы потери устойчивости.

Во вкладке «Постпроцессоры»/»энергетический процессор» — элементы с отрицательной энергией будут ответственны за потерю устойчивости. Чем больше отрицательное значение у элемента, тем больше он отвечает за потерю устойчивости..

Дополнительная информация

А.В. Перельмутер В.И. Сливкер Расчетные модели сооружений и возможность их анализа. 2011. Раздел 9. Задачи устойчивости и смежные вопросы.

Определение устойчивости систем автоматического управления промышленными роботами

Введение

Необходимым условием работоспособности системы автоматического управления (САУ), является её устойчивость. Под устойчивостью принято понимать свойство системы восстанавливать состояние равновесия, из которого она была выведена под влиянием возмущающих факторов после прекращения их воздействия [1].

Постановка задачи

Теория просто и кратко

Анализ устойчивости системы по методу Михайлова сводится к построению характеристического многочлена замкнутой системы (знаменатель передаточной функции), комплексной частотной функции (характеристического вектора):

(1)

где и – соответственно вещественная и мнимая части знаменателя передаточной функции, по виду которой можно судить об устойчивости системы.

Замкнутая САУ устойчива, если комплексная частотная функция , начинаясь на
стрелки начало координат, проходя последовательно n квадрантов, где n – порядок характеристического уравнения системы, т. е.

(2)

Рисунок 1. Амплитудно-фазовые характеристики (годографы) критерия Михайлова: а) – устойчивой системы; б) – неустойчивой системы (1, 2) и системы на границе устойчивости (3)

САУ электроприводом манипулятора промышленного робота (МПР)

Рисунок 2 – Структурная схема САУ электроприводом МПР

Передаточная функция данной САУ имеет следующее выражение [2]:

(3)
где kу – коэффициент усиления усилителя, kм – коэффициент пропорциональности частоты вращения двигателя величине напряжения на якоре, Tу – электромагнитная постоянная времени усилителя, Tм – электромеханическая постоянная времени двигателя с учётом инерции нагрузки (по своим динамическим характеристикам двигатель представляет собой передаточную функцию последовательно соединённых инерционного и интегрирующего звеньев), kдс – коэффициент пропорциональности между входной и выходной величинами датчика скорости, K – коэффициент усиления главной цепи: .

Численные значения в выражение передаточной функции следующие:

K = 100 град / (В∙с); kдс = 0,01 В / (град∙с); Tу = 0,01 с; Tм = 0,1с.

Далее запишем характеристический многочлен замкнутой системы

заменив s на :
(4)

Решение на Python

Здесь следует отметить, что подобные задачи на Python ещё никто не решал, во всяком случае я не нашёл. Это было связано с ограниченными возможностями работы с комплексными числами. С появлением SymPy можно сделать следующее:

Где I мнимая единица, w- круговая частота, T1= Tу = 0.01 ,T2= Tм = 0.1
Получим развёрнутое выражение для многочлена:

Характеристический многочлен замкнутой системы –
-I*T1*T2*w**3 — T1*w**2 — T2*w**2 + I*w + 1

Сразу видим, что многочлен третьей степени. Теперь получим мнимую и действительную части в символьном отображении:

Действительная часть Re= -T1*w**2 — T2*w**2 + 1
Мнимая часть Im= -T1*T2*w**3 + w

Сразу видим вторую степень действительной части и третью мнимой. Подготовим данные для построения годографа Михайлова. Введём численные значения для T1 и T2, и будем менять частоту от 0 до 100 с шагом 0.1 и построим график:

Из графика не видно, то годограф начинается на действительной положительной оси. Нужно изменить масштабы осей. Приведу полный листинг программы:

Характеристический многочлен замкнутой системы — -I*T1*T2*w**3 — T1*w**2 — T2*w**2 + I*w + 1
Действительная часть Re= -T1*w**2 — T2*w**2 + 1
Мнимая часть Im= -T1*T2*w**3 + w

Теперь уже видно, что годограф начинается на действительной положительной оси. САУ устойчива, n=3, годограф совпадает с приведённым на первом рисунке.

Дополнительно убедится в том, что годограф начинается на действительной оси можно дополнив программу следующим кодом для w=0:

Начальная точка М(1,0)

САУ сварочного робота

Рисунок 3. Структурная схема САУ позиционированием НСУ

Характеристическое уравнение данной САУ будет иметь вид [1]:

где K – варьируемый коэффициент усиления системы, a – определённая положительная константа. Численные значения: K = 40; a = 0,525.

Далее путём замены s на , получим функцию Михайлова:
(5)

Решение на Python

Характеристический многочлен замкнутой системы — w**4 — 6*I*w**3 — 11*w**2 + 46*I*w + 21
Начальная точка М(21,0)
Действительная часть Re= w**4 — 11*w**2 + 21
Мнимая часть Im= -6*w**3 + 46*w

Построенный годограф Михайлова, начинаясь на вещественной положительной оси (М (21,0)), огибает в положительном направлении начало координат, проходя последовательно четыре квадранта, что соответствует порядку характеристического уравнения. Значит, данная САУ позиционированием НСУ – устойчива.

Выводы

При помощи модуля SymPy Python получен простой и наглядный инструмент для решения задач расчёта устойчивости систем автоматического управления, что является обязательным условием работоспособности любого промышленного робота и манипулятора.

Признаки нулевого стержня

Нулевым называют стержень, в котором усилие равно нулю. Выделяют ряд частных случаев, в которых гарантированно встречается нулевой стержень.

• Равновесие ненагруженного узла, состоящего из двух стержней, возможно только в том случае, если оба стержня нулевые.
• В ненагруженном узле из трёх стержней одиночный (не лежащий на одной прямой с остальными двумя) стержень будет нулевым.

• В трехстержневом узле без нагрузки усилие в одиночном стержне будет равно по модулю и обратно по направлению приложенной нагрузке. При этом усилия в стержнях, лежащих на одной прямой, будут равны друг другу, и определятся расчётом N(3) = -P, N(1) = N(2).
• Трехстержневой узел с одиночным стержнем и нагрузкой, приложенной в произвольном направлении. Нагрузка P раскладывается на составляющие P’ и P» по правилу треугольника параллельно осям элементов. Тогда N(1) = N(2) + P’, N(3) = -P».

• В ненагруженном узле из четырёх стержней, оси которых направлены по двум прямым, усилия будут попарно равны N(1) = N(2), N(3) = N(4).

Пользуясь методом вырезания узлов и зная правила нулевого стержня, можно проводить проверку расчётов, проведённых другими методами.

Распространённые методы расчётов

Расчёты в ортодонтии выполняют как для проведения необходимого, так и для желательного лечения. Необходимое предписывают в тех случаях, когда патологии приведут к ухудшению стоматологического здоровья или нарушению работы других систем и органов. Желательное применяют, если последствия отклонений не несут таких негативных последствий, но могут привести к ухудшению эстетики лица и пр.

Среди самых распространённых методов расчётов выделяют такие:

• Пона-Линдера-Харта;
• Болтона;
• Коркхауза;
• Долгополовой;
• Хауса и Снагиной;
• Нансе;
• Тонна (Тона);
• Слабковской;
• Герлаха.

Пона – Линдера – Харта

Методику рекомендуют для вычисления ширины зубных рядов при сменном и постоянном прикусе в детском возрасте. Стоматолог Пон выявил зависимость суммы мезиодистальных размеров резцов от ширины зубного ряда в области первых премоляров и моляров. Для сравнения этих величин применяют премолярный и молярный индекс. В норме они составляют 80 и 64 соответственно.

Для вычисления этих индексов выполняют замеры параметров первых моляров и передней точки пересечения продольных и поперечных фиссур этих зубов на верхнечелюстной кости. На нижнечелюстной кости выбирают другие замерные точки – это дистальная точка первого жевательного зуба и середина его вестибулярной поверхности. Если при сменном прикусе прорезались ещё не все постоянные элементы, то для определения их ширины добавочно применяют индекс Тона.

Предложенный способ Пона детально перепроверили немецкие специалисты Линдер и Харт. Они провели масштабные исследования и выявили, что для немецких подростков формула немного отличается из-за расовых различий и антропометрических характеристик. Вместо коэффициентов 80 и 64 к ним применима формула 85 и 65. Аналогичные поправки были внесены и для русских детей, поэтому в случае диагностики славян тоже придерживаются коэффициентов 85 и 65.

Данные, которые получаются после вычисления по формуле Пона, не являются универсальными. В зависимости от того, узкое у пациента лицо или широкое, могут быть внесены поправки.

Болтона

Такой способ в ортодонтии рекомендуют исключительно для взрослых, у которых рост черепных костей уже завершился, так же, как и развитие зубочелюстного аппарата. Он подходит для выявления точного места нарушения и позволяет оценить необходимость сошлифовки эмали со стороны преддверия рта. Для этого выявляют диспропорцию ширины коронок в переднем отделе по отношению к другим отделам.

Автором предложены два основных показателя:

• Индекс «anterior ratio» – соотношение мезиодистальной суммы ширины резцов и клыков. В норме он составляет 77,2%.
• индекс «overall ratio» – соотношение ширины всех зубов обеих дуг от первого моляра к первому моляру. В норме он не должен превышать значения 91,3%.

Если отклонения превышены больше, чем в два раза, то это будет вызывать явные клинические проявления. Могут развиваться ротации коронковой части, межзубные щели, скученность и нарушение контактов между зубами-антагонистами. Для устранения такой дисгармонии предлагают несколько вариантов: экстракция, реставрация коронки, снятие небольшого слоя эмали и пр.

Коркхауза

Ортодонт Коркхауз стал разработчиком способа диагностики в ортодонтии, основанного на сопоставлении суммы ширины постоянных верхних резцов и длины переднего отрезка зубной дуги. В ходе вычислений определяют сумму четырёх центральных зубов и длину фронтального отрезка дуги. Эти данные сравнивают с усреднёнными индивидуальными нормами. Длина фронтального отрезка верхней дуги в норме на 2 мм меньше, чем длина аналогичного отрезка нижней дуги. Данный подход даёт информацию по поводу укорочения или удлинения верхнего зубного ряда.

Долгополовой

Такая методика в ортодонтии рекомендована для детей в период временного прикуса. Для проведения замеров определяют нёбные бугорки боковых резцов и клыков, а также – место пересечения поперечной и продольной фиссур жевательных поверхностей первых и вторых моляров.

Долгополовой предоставлены данные по средним параметрам измеряемых расстояний для детей от трёх до шести лет, на которые ориентируются в ортодонтии. Полученные после измерения на гипсовой модели данные сопоставляются с табличными, после чего принимается решение о методах лечения.

Хауса и Снагиной

Способ основан на просчёте параметров, определяющих пропорциональную взаимную зависимость размеров апикального базиса и размеров зубных губ для ортогнатического прикуса. Он был предложен Хаусом, но впоследствии доработан и модифицирован Н. Г. Снагиной.

Для применения этого метода расчёта нужна гипсовая модель, которая хорошо отражает не только зубочелюстной аппарат, но и верхнее нёбо. Эти структуры предоставляют данные о состоянии апикального базиса – условной линии, которую проводят вдоль верхушек корней на обеих челюстях. Нужна как длина, так и ширина апикального базиса.

Формула Снагиной позволяет вычислить индекс зависимости длины и ширины апикального базиса от суммы мезио-дистальных размеров 12-ти постоянных зубов. При сужении одного или двух зубных рядов в большинстве случае это происходит параллельно с сужением апикального базиса, которое может быть двух степеней:

• I – после проведения ортодонтического лечения, направленного на расширение дуги, рецидив случается в редких случаях;
• II – ортодонтические методы не будут достаточными, поэтому рекомендуется удаление одного или нескольких зубов.

Нансе

Для расчётов по Нансе проводят два последовательных замера:

• Измерение циркулем 12 центральных зубов в плоскости жевательных поверхностей.
• Длина зубного ряда – её проводят с использованием отрезка лески или лигатурной проволоки. Если есть зубные элементы, которые растут за границей дуги, их не берут в расчёт.

При нормальных антропометрических характеристиках оба параметра будут равными. При различии этих показателей говорят о сужении или расширении ряда. Укорочение бывает трёх категорий:

• I – уменьшение с разницей 1-5 мм;
• II – разница окклюзионной плоскости до 7 мм;
• III – разница больше 7 мм.

Тонна

Врач Тонн предложил способ определения соответствия размерных параметров зубов обеих челюстей, который часто используют в ортодонтии. Методика применяется для постоянного комплекта. В ходе расчётов сравнивают ширину передней поверхности резцов в наиболее широкой их части.

Для сопоставления этих величин был разработан индекс Тонна. Его величина в норме равна 1:0,74. Применение этой системы позволяет легко выявить избыток дуги в области нижних или верхних резцов.

Слабковской

Этот тип замеров даёт представление о ширине дуги и размере нёба в области клыка в зависимости от суммы ширин нижних резцов. Точки выбирают на середине накусывающей поверхности. Способ используется как для верхней, так и для нижней челюсти.

Герлаха

Такой тип биометрического исследования в ортодонтии позволяет точно выяснить, чем вызвана скученность: макродентией, сужением или укорочением дуги. Кроме того, с помощью способа Герлаха можно установить причину нарушения окклюзии.

В основе метода лежит разделение зубного ряда на три сегмента: передний и два боковых.

Передний сегмент должен быть на 10% меньше бокового. Если же они одинаковые или боковой меньше, значит во фронтальном отделе резцы расположены слишком тесно. Верхние и нижние дуги нужно рассматривать с учётом фрагментарной формулы.

Превалирование ширины верхнего переднего сегмента над нижним говорит о глубоком перекрытии. Противоположная картина свидетельствует об обратном резцовом перекрытии.

Выбор того, какой именно методикой биометрического исследования воспользоваться, зависит от клинической картины и предположительного диагноза. Ортодонт должен понимать, какие именно параметры дальше будут замеряться, потому что для этого нужно акцентировать внимание на отдельных участках контрольно-диагностической модели.

В основном расчет необходимо проводить по следующим причинам:

• Продукция уже используется на объекте и ее невозможно демонтировать.
• У объекта слишком большие габариты и/или сложная конструкция, поэтому его невозможно поместить на виброплатформу.
• Речь идет о тепломеханической продукции, а для нее расчет сейсмики предусмотрен нормативными требованиями.
• Требования к данному объекту допускают заменить испытания расчетом.
• Необходима оценка объекта, аналогичного тому, что уже проходил проверку, но содержащему изменения, влияющие на динамические характеристики.
• Оценивается уже проверенный объект на соответствие новым требованиям
• Оценивается объект, не имеющий резонансных частот в диапазоне от 1 до 30 Гц.

При этом саму процедуру получения сертификата сейсмостойкости можно разделить на несколько основных этапов:

1. Для начала строится подробная математическая модель, отражающая все особенности сертифицируемого объекта.
2. Следующим этапом идет расчет вибрационных полей во всех важных узловых точках при заданных параметрах землетрясения. В результате становится возможным определить максимальные перегрузки комплектующих.
3. Завершающим этапом идет анализ расчетных и допустимых значений перегрузок. По результатам расчетов оформляется заключение о сейсмостойкости исследуемого оборудования и если выясняется, что оборудование не может обеспечить заявленного уровня, предлагаются рекомендации по изменению его конструкции. Именно на основании расчета и заключения выдается сертификат.

Получить бесплатную консультацию

1.1. Точка безубыточности в изделиях

Формула: ВЕРнат = TFC / (P-AVC)

Пример: Игнат делает цветочные горшки. На аренду, зарплаты и налоги он тратит 40 000 рублей (TFC). Сырье для одного горшка обходится ему в 100 рублей (AVC), а в «Лавке Игната» горшок стоит 180 рублей (P).

40 000 / (180-100) = 500.

Игнату нужно производить и продавать по 500 горшков, чтобы выходить в ноль. Если он повысит цену на горшок до 200 рублей, то сможет продавать всего 400 горшков в месяц.

Если уже знаешь значение в натуральном выражении, легко посчитать точку безубыточности и в денежном.

Формула: BEPден = ВЕРнат*P

Пример расчета прогиба балки

Для закрепления пройденного материала, предлагаю рассмотреть пример с заданными численными значениями всех параметров балки и нагрузок. Возьмем также консольную балку, которая жестко закреплена с правого торца. Будем считать, что балка изготовлена из стали (модуль упругости E = 2·10 5 МПа), в сечении у нее двутавр №16 (момент инерции по сортаменту I = 873 см 4 ). Рассчитывать будем прогиб свободного торца, находящегося слева.

Подготовительный этап

Проводим подготовительные действия, перед расчетом прогиба: помечаем базу O, с левого торца балки, проводим координатные оси и показываем реакции, возникающие в заделке, под действием заданной нагрузки:

В методе начальных параметров, есть еще одна особенность, которая касается распределенной нагрузки. Если на балку действует распределенная нагрузка, то ее конец, обязательно должен находиться на краю балки (в точке наиболее удаленной от заданной базы). Только в таком случае, рассматриваемый метод будет работать. В нашем примере, нагрузка, как видно, начинается на расстоянии 2 м. от базы и заканчивается на 4 м. В таком случае, нагрузка продлевается до конца балки, а искусственное продление компенсируется дополнительной, противоположно-направленной нагрузкой. Тем самым, в расчете прогибов будет уже учитываться 2 распределенные нагрузки:

Расчет прогиба

Записываем граничные условия для заданной расчетной схемы:

V_A = 0 при x = 6м

θ_A = 0 при x = 6м

Напомню, что нас, в этом примере, интересует прогиб сечения O (V_O). Для его нахождения составим уравнение, для сечения A, в которое будет входить искомая величина:

В полученном уравнении, у нас содержится две неизвестные величины: искомый прогиб V_O и угол поворота этого сечения — θ_O:

Таким образом, чтобы решить поставленную задачу, составим дополнительное уравнение, но только теперь, не прогибов, а углов поворотов, для сечения A:Из второго уравнения, найдем угол поворота:После чего, рассчитываем искомый прогиб:

Таким образом, свободный торец такой балки, прогнется практически на 6 см. Данную задачу, можно решить несколько проще, если ввести базу с правого торца. В таком случае, для решения потребовалось бы лишь одно уравнение, однако, оно было бы немного объемнее, т.к. включало реакции в заделке.